Ch1. Wave Motion(2)- 조화파

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조화파 Harmonic Waves

sin함수 형태의 유연한 파동

$$\psi(x,t)=A\sin k(x-vt)$$

진폭

진동의 최대 섭동은 A에 의하여 결정된다.
이를 진폭(Amplitude)라고 한다.

t-domain에서의 주기, 주파수, 각속도

t-domain에서의 요소를 알아보기 위하여 x를 상수로 고정시키고 생각하였을 때 파동 방정식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\psi(x_{o},t)=A\sin k(x_{o}-vt)=A\sin kv(\frac{x_{o}}{v}-t)$$

주기

조화파는 sin함수로 이루어져 있으며 주기는 $2\pi$이다.
이를 이용하여 파동은 $ \frac {2\pi}{kv} $의 주기로 진동함을 계산한다.

$$A\sin kv(\frac{x_{o}}{v}-t)=A\sin (kv(\frac{x_{o}}{v}-t)+2\pi)=A\sin kv(\frac{x_{o}}{v}-t+\frac{2\pi}{kv}) \\\\ \therefore A\sin kv(\frac{x_{o}}{v}-t)=A\sin kv(\frac{x_{o}}{v}-(t-\frac{2\pi}{kv}))$$

주기 $\frac {2\pi}{kv}$를 $\tau $라 쓰고 tau라고 읽는다.

주파수

t-domain에서의 주파수는 단위시간당 진동 수를 나타낸다.
주기가 한번의 진동에 걸리는 시간이므로 주기의 역수를 취하여 주파수를 계산한다.

$$\nu = \frac{1}{\tau} = \frac{kv}{2\pi} \left[Hz \right]$$

시간 주파수는 $\nu$라고 쓰며 nu라고 읽는다. 속도를 의미하는 v와 혼동하지 않도록 주의해야한다.

각속도

각속도는 각진동수로도 불리며 단위 시간당 파동이 진행하는 각도를 의미한다.

$$\omega=2\pi\nu=kv \left[rad/s \right]$$

x-domain에서의 파장,파수,전파상수

x-domain에서의 요소를 알아보기 위하여 t를 상수로 고정시키고 파동 방정식을 정리한다.

$$\psi(x,t_{o})=A\sin k(x-vt_{o})=A\sin kv(\frac{x}{v}-t_{o})$$

파장

t-domain에서와 마찬가지로 sin함수의 주기 $2\pi$를 이용하여 파동의 주기를 구할 수 있다.

$$A\sin k(x-vt_{o})=A\sin (k(x-vt_{0})+2\pi)=A\sin k(x-vt_{0}+\frac{2\pi}{k}) \\\\ \lambda = \frac{2\pi}{k}$$

공간 도메인에서의 주기는 파동의 형태가 주기적으로 반복된 모양을 나타내는 구간이 존재함을 의미한다.
따라서 공간 도메인에서의 주기를 파장(wave length)라 부를 수 있다.

파수

x-domain에서의 주파수는 1m의 공간 안에서 파동이 몇 번의 주기를 갖는가를 표현한다.

$$\kappa = \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{2\pi}$$

단위 길이 당 파동은 주파수만큼의 파동을 갖는다. 이를 파수(Wave Number)라고도 한다.
파수는 $ \kappa $라 쓰고 카파라 읽는다. k와 혼동하지 않도록 주의해야한다.

전파상수

x-domain에서의 각속도는 1m당 파동이 진행하는 각도를 의미한다.
이를 전파 상수(Propagation Number)라고 하며 이는 파동방정식으로 주어진 $\psi(x,t)=A\sin k(x-vt) $로부터 k임을 알 수 있다.

위상

파동은 임의의 시간 t에서 vt만큼 이동한 f(x)의 펄스를 확인할 수 있다.
또한 파동은 매질을 상하로 움직이므로 매질의 위치 x에 따라 변위가 변할 수 있다.
따라서 매질의 변위를 결정하는 것은 k(x-vt)이며, 이를 위상(Phase) 혹은 상이라고 한다.
파동은 위상이 0에서 시작할 수 있지만 다른 위상으로부터 시작할 수 있다.
이를 초기 위상(Initial Phase)라 하며 $\epsilon $을 추가하여 표기한다.

$$\psi = A \sin (kx-\omega t + \epsilon) = A\sin \phi$$

속도

위상은 x와 t의 함수이다. 따라서 위상의 변화율은 x의 변화율과 t의 변화율로 표현할 수 있고, 변화율이 0이 될때 속도를 계산할 수 있다.

$$\triangle \phi = \triangle x \frac{\partial \phi}{\partial x} + \triangle t \frac{\partial \phi}{\partial t} \\\\ \frac{\triangle x}{\triangle t} = \frac{-\frac{\partial \phi}{\partial t}}{\frac{\partial \phi}{\partial x}} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi \nu}{\frac{2\pi}{\lambda}}=\lambda \nu = v$$

각속도/전파상수, 파장 x 주파수가 속도라는 점을 기억하자.

조화파의 표현

조화파는 각 도메인의 파장,주파수,각속도를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\psi = A\sin k(x \mp vt) \\\\ \psi = A\sin 2\pi(\frac{x}{\lambda} \mp \frac{t}{\tau})\\\\ \psi = A\sin 2\pi(\kappa x \mp vt)\\\\ \psi = A\sin (kx \mp \omega t)\\\\ \psi = A\sin 2\pi v(\frac{x}{v} \mp t)$$