Ch 2.Electromagnetic Theory, Photons, and Light (2) - 포인팅 벡터, 복사조도

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전자기파의 에너지

전자기파의 에너지밀도

공간상의 어떤 영역에 전자기파가 존재한다면 단위체적당 복사 에너지, 즉 에너지 밀도 u가 있다고 할 수 있다.
전자기파가 에너지를 저장할 수 있다고 가정하여 에너지가 퍼져나가는 곳을 보도록 하자.
전기장 $\overrightarrow{E}$의 에너지 밀도와 자기장 $\overrightarrow{B}$의 에너지 밀도는 다음과 같다.

$$u_E = \frac{\epsilon_o}{2}E^2 , \ \ \ u_B = \frac{1}{2\mu_o}B^2$$

관계식 $E = cB$과 $c = \sqrt{\epsilon_o \mu_o}$를 사용하여 $u_E = u_B$의 식을 확인할 수 있다.
따라서 공간상에서 전파하는 전자기파는 에너지를 전기장과 자기장 형태로 나누어 가지고 있으며, 총 에너지 밀도는 전기장과 자기장의 에너지 밀도의 합으로 표현된다.

$$u = u_E+u_B = \epsilon_o E^2 = \frac{1}{\mu_o}B^2$$

포인팅 벡터

단면적 A를 광속으로 통과하는 전자기파가 존재한다고 가정하자.
시간 간격 $\triangle t$를 생각하면 원기둥 속에 들어있는 에너지 $u(c \triangle t A)$는 단면적 A를 통과하게 된다는 것을 알 수 있다.

에너지의 흐름을 표현하기 위해 단위면적을 통해 단위시간에 전달하는 에너지를 $S$ 기호를 통해 나타도록한다.
이는 에너지와 운동량을 나타내므로 스칼라 값은 다음과 같이 에너지를 단위시간과 단위 면적으로 나누어 계산할 수 있다.

$$S = \frac{uc\triangle t A}{\triangle t A} = uc = \frac{1}{\mu_o}EB$$

이전 횡파(Transverse Wave)로부터 전자기파의 진행방향을 자기장과 전기장 벡터의 외적으로 표현한 바 있다.
에너지의 진행방향은 전자기파의 진행방향이고, 자기장과 전기장은 서로 수직이므로 에너지의 벡터는 자기장과 전기장의 외적으로서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\overrightarrow{S} = \frac{1}{\mu_o} \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B} = c^2\epsilon_o \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$$

이러한 에너지 벡터 $\overrightarrow{S}$의 크기는 벡터와 평행한 법선을 갖는 단위면적을 통과하는 빛의 파워로, 포인팅 벡터(Poyting Vector)라 한다.
공간 상에서 $\overrightarrow{k}$의 방향으로 전파하는 조화파동에서 이를 적용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_o \cos (\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} - \omega t) \\\\ \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B}_o \cos (\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} - \omega t) \\\\ \overrightarrow{S} = c^2\epsilon_o \overrightarrow{E}_o \overrightarrow{B}_o \cos^2(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{r} - \omega t)$$

포인팅 벡터는 단위시간당 단위면적당 에너지의 흐름을 나타낸다.

복사조도(Irradiance)

어떤 면을 비추는 빛의 총량을 나타낼 때 I라고 표기하는 복사조도(irradiance),
단위시간당 단위면적당 평균 에너지로 표현한다.
포인팅 벡터는 시간에 따라 에너지의 흐름이 변하므로 시간에 대해 평균을 계산한다면 이는 평균 에너지, 즉 복사조도로 표현할 수 있다.

$$I = \langle |\overrightarrow{S}|\rangle_T \\\\= \frac{1}{T}\int_T c^2\epsilon_o \overrightarrow{E}_o \times \overrightarrow{B}_o \cos^2(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}_o-\omega t)dt \\\\= c^2\epsilon_o \overrightarrow{E}_o \times \overrightarrow{B}_o (\frac{1}{2})=c^2\epsilon_o E_o \frac{E_o}{c} \frac{1}{2} \\\\=\frac{c\epsilon_o}{2}E_o^2 = c\epsilon_o \langle E^2 \rangle_T$$

복사조도는 전기장의 진폭의 제곱에 비례하며 전기장은 자기장보다 전하의 에너지에 크게 관여한다.
따라서 전기장은 광파(optical field)라 하고 복사조도를 전기장을 이용하여 표현한다.