Ch 2.Electromagnetic Theory, Photons, and Light (1) - 맥스웰 방정식, 횡파

---

맥스웰 방정식

맥스웰 방정식은 페러데이, 앙페르, 가우스 법칙을 전기장과 자기장의 통합으로 정리한 방정식이다.
맥스웰 방정식은 적분 형태(Integral form)와 미분 형태(Point form)으로 표현한다.

각 방정식이 표현하는 바는 다음과 같다.

1. 페러데이 법칙: 시간에 따라 자기장이 변하면 전기장을 유도한다
   

2. 앙페르 법칙: 시간에 따라 전기장이 변하면 자기장을 유도한다.
   

3. 가우스 법칙(전기장): 나가는 전하의 양과 들어오는 전하의 양은 같다.
   

4. 가우스 법칙(자기장): 음전하와 양전하가 따로 존재할 수 없다.
   

전하와 전류가 없는 자유공간에서 맥스웰 방정식으로부터 다음과 같이 파동방정식을 유도할 수 있다.

$$\triangledown\cdot\overrightarrow{E}=0 \ \ , \ \ \triangledown\cdot\overrightarrow{B}=0 \\\\ \triangledown\times\triangledown\times\overrightarrow{E}=\triangledown(\triangledown\cdot\overrightarrow{E})-\triangledown^2\overrightarrow{E}=-\triangledown^2\overrightarrow{E} \\\\ \triangledown\times\triangledown\times\overrightarrow{E}=\triangledown\times(-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}) = -\frac{\partial(\triangledown\times\overrightarrow{B})}{\partial t} = -\mu_o \epsilon_0\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}\\\\ \triangledown\times\triangledown\times\overrightarrow{B}=\triangledown(\triangledown\cdot\overrightarrow{B})-\triangledown^2\overrightarrow{B}=-\triangledown^2\overrightarrow{B} \\\\ \triangledown\times\triangledown\times\overrightarrow{B}=\triangledown\times(\mu_o\epsilon_o\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}) = \mu_o \epsilon_o\frac{\partial(\triangledown\times\overrightarrow{E})}{\partial t}=- \frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2} \\\\ \therefore \triangledown^2\overrightarrow{E} = \mu_o \epsilon_0\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}, \ \ \ \ \triangledown^2\overrightarrow{B} = \mu_o \epsilon_0\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$$

이는 3차원 파동방정식이 $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}$이므로 전기장과 자기장은 파동이며 전기장과 자기장의 자유공간에서의 속도$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_o\epsilon_o}}$임을 알 수 있다.

맥스웰은 페퍼와 콜라우슈의 실험결과를 사용하여 $\epsilon_o \approx 8.85 \times 10^-12 \ s^2\cdot C^2/m^3 \cdot kg, \ \ \mu_o \approx 4\pi \times 10^-7 \ m\cdot kg/C^2$의 값을 식에 대입하였고, 이를 통해 $v\approx 3 \times 10^8$임을 구하였다.

따라서 전기장과 자기장의 속도가 빛의 속도와 같음을 통하여 빛은 전자기파라는 사실을 알 수 있다.(1983년 파리에서 열린 제 17차 국제도량형 총회에서 길이의 단위로 미터가 새로 확정되며 정해진 빛의 속도는 $c=2.99792458 \times 10^8$이다.)

횡파(Transverse Wave)

자유공간에서 x축의 양의 방향으로 진행하는 평면파를 생각해보자.
맥스웰 방정식에 의해 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial y}+\frac{\partial E}{\partial z}=\frac{\partial E_x}{\partial x}=0$$

진행파가 양의 x 방향으로 진행하므로 $E_x =0$임을 의미하며 따라서 전기장 $\overrightarrow{E}$는 전자기파의 방향에 수직함을 알 수 있다.

전기장의 방향을 y축과 평행하다고 가정할 때, $\overrightarrow{E}=\hat{j}E_y(x,t)$이고, 맥스웰 방정식에 의하여 다음과 같이 식을 정리할 수 있다.

$$\triangledown \times \overrightarrow{E} = - \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\\\ \triangledown \times \overrightarrow{E} = \hat{k}\frac{\partial E_y}{\partial x}\\\\ \therefore \ \ \frac{\partial E_y}{\partial x}= -\frac{\partial \overrightarrow{B_z}}{\partial t}$$

이를 통하여 평면파가 x축의 방향으로 진행하고, 전기장이 y축과 평행할 때, 자기장이 z방향 성분만을 가지고 평면파는 자유공간에서 횡파임을 확인할 수 있다.
평면파는 조화파이므로 푸리에 방법을 이용하여 전기장과 자기장을 계산할 수 있다.

$$E_y(x,t) = E_oy \cos[\omega(t-x/c)+\epsilon]\\\\ \frac{\partial E_y}{\partial x}= -\frac{\partial \overrightarrow{B_z}}{\partial t}, \ \ \ \frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{\omega}{c}E_oy \sin[\omega(t-x/c)+\epsilon]\\\\ \therefore B_z=\frac{1}{c}E_oy\cos[\omega(t-x/c)+\epsilon]$$

위 식으로부터 전기장과 자기장의 위상이 같고, 두 진폭은 비례관계를 가짐을 알 수 있다.

$$E_y = cB_z\\\\ \hat{E}\times\hat{B}=(전자기파의 진행방향)$$